中学数学の関数がわからないとき｜式・表・グラフのつなぎ方

関数は、二つの数量の関係を表す

中学数学では、xの値を決めると、それに対応するyの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であるといいます。

「xとyは何を表しているのか」「xを決めたとき、yはどう決まるのか」を確認するのが出発点です。

たとえば、最初に水が1L入っている容器へ、毎分2Lずつ水を入れる場面を考えます。水があふれない範囲で、入れ始めてからx分後の水量をy Lとします。漏れや蒸発は考えません。

最初の1Lに、x分間で増える2x Lを加えるので、式はy＝2x＋1です。x＝0も「入れ始める瞬間」という意味を持ちます。

式から表へ：xを一つずつ代入する

y＝2x＋1のxに、0、1、2、3を順に入れます。

時間と水量の対応

x（分）	計算	y（L）
0	2×0＋1	1
1	2×1＋1	3
2	2×2＋1	5
3	2×3＋1	7

表では、同じ行のxとyが組になっています。x＝2とy＝5を取り出して「2分後には5L」と読みます。

式への代入でつまずく場合は、関数の用語を増やす前に、文字を数に置き換える計算へ戻ります。符号の扱いが不安なら、ケアレスミスを減らす途中式も確認してください。

表からグラフへ：二つの数を一つの点にする

グラフでは、横軸にx、縦軸にyをとります。表のx＝2、y＝5は、座標(2, 5)という一つの点です。横へ2、縦へ5の位置を探します。

横軸は時間（分）、縦軸は水量（L）。軸ごとの1目盛りを確かめます。

この場面では、1.5分後のような途中の時刻も考えられます。一定の速さで水が増えるため、点と点の間も直線でつながります。

ただし、どんな表でも点を直線で結べばよいわけではありません。個数など整数だけを扱う場面や、一次関数ではない関係もあります。式の種類と、変数がとれる範囲を確認します。

傾きは「xが1増えたときのyの増え方」

表を見ると、xが0から1へ増えると、yは1から3へ増えています。xが1から2へ増えるときも、yは3から5へ2増えます。

一次関数y＝ax＋bでは、この「xが1増えたときのyの増加量」が傾きaです。今回の傾きは2。水の例では毎分2Lという増え方に当たります。

xの間隔が1ではないときは、そのままyの差を傾きにしないようにします。

xが1から3へ増え、yが3から7へ増えた場合
傾き＝yの増加量÷xの増加量＝(7−3)÷(3−1)＝2

グラフの見た目の角度だけで判断せず、軸の目盛りを読んで計算します。y＝−2x＋5なら、xが1増えるとyが2減るので、傾きは−2です。

切片は「x＝0のときのy」

y＝2x＋1へx＝0を入れると、y＝1です。グラフがy軸と交わる点は(0, 1)。このy座標の1が切片です。

水の例では、最初に入っていた1Lに当たります。「増え方の2」と「最初の量の1」を区別すると、式のどの数が何を表すかが見えてきます。

切片はx軸と交わる場所ではありません。また、文章題で必ず「最初の量」という言葉になるとは限らないので、まずx＝0のときの値として確認してください。

表やグラフから式へ戻ってみる

一次関数であることがわかっていて、(1, 3)と(3, 7)を通るとします。

1. 傾きを求める：(7−3)÷(3−1)＝2
2. y＝2x＋bと書く
3. 点(1, 3)を代入する：3＝2×1＋b
4. b＝1なので、y＝2x＋1

最後にもう一方の点(3, 7)も式に合うか確かめます。7＝2×3＋1となるので一致します。

二つの点からこの方法で式を求めるには、一次関数として扱ってよい条件が必要です。「表の二組を使えた」だけで、どんな関数も一次関数だと判断しないようにしましょう。

練習：y＝−x＋4を三つの形で確かめる

1. x＝0、1、2のときのyを求める
2. 対応する三つの点をグラフへ打つ
3. 傾きと切片を答える

答えと確認する場所

yは順に4、3、2。点は(0, 4)、(1, 3)、(2, 2)です。横に1進むと縦に1下がる直線上に並びます。

傾きは−1、切片は4。−xは−1×xの意味なので、xの係数を−1と読みます。

表を作れないなら代入計算へ。表は作れるのに点を打てないなら座標へ。点は打てるのに式へ戻れないなら傾きと切片へ。止まる場所に合わせて確認できます。

文章題でxとyを何にするか迷う場合は、文章から式を立てる4つの確認へ。学び方全体は安城市の中学生向け数学ガイドで案内しています。まずは一つの式を選び、表とグラフを自分の手でつないでみてください。